三角函数转换公式大全
发布时间：2026-01-27 23:22:04来源：
【三角函数转换公式大全】在数学学习中，三角函数的转换公式是解决各种三角问题的重要工具。无论是解三角形、求角度、还是进行三角恒等变换，掌握这些公式都至关重要。以下是对常见三角函数转换公式的总结，并以表格形式进行整理，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 平方关系 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 平方关系 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 平方关系 |
| $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 商数关系 |
| $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ | 商数关系 |
二、诱导公式（角度与单位圆的关系）
| 角度变化 | 转换公式 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 正弦函数为奇函数 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 余弦函数为偶函数 |
| $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ | 正切函数为奇函数 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 补角公式 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 补角公式 |
| $\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$ | 补角公式 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 周期性公式 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 周期性公式 |
| $\tan(\pi + \theta) = \tan\theta$ | 周期性公式 |
三、和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ | 二倍角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 二倍角公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 二倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 积化和差 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
八、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta}$ | 互为倒数 |
| $\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta}$ | 互为倒数 |
| $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$ | 互为倒数 |
总结
三角函数的转换公式是数学中不可或缺的一部分，它们不仅用于计算角度和边长，还广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。通过熟练掌握这些公式，可以更高效地解决复杂的三角问题。建议在实际应用中结合图形理解，增强记忆效果。
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