三角函数通用公式
发布时间：2026-01-27 22:52:58来源：
【三角函数通用公式】在数学学习中，三角函数是一个重要的组成部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握三角函数的通用公式，有助于快速解决相关问题，提高计算效率。以下是对常见三角函数公式的总结，结合表格形式进行展示，便于理解和记忆。
一、基本三角函数关系
三角函数的基本定义是基于直角三角形的边与角之间的关系，也可通过单位圆进行推广。以下是六个基本三角函数及其定义：
| 函数名称 | 定义式 | 公式 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | $ \sin\theta = \frac{y}{r} $ |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | $ \cos\theta = \frac{x}{r} $ |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | $ \sec\theta = \frac{r}{x} $ |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | $ \csc\theta = \frac{r}{y} $ |
二、三角恒等式
三角恒等式是用于简化和转换三角表达式的工具，常见的有：
1. 基本恒等式
| 恒等式 | 表达式 |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与正割 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ |
| 余切与余割 | $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
2. 诱导公式（角度变化）
| 角度变化 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
三、和差角公式
这些公式常用于将两个角的三角函数转化为一个角的表达式，或反之。
| 公式类型 | 表达式 |
| 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
四、倍角与半角公式
这些公式适用于已知一个角的三角函数值，求其倍角或半角的函数值。
1. 倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦倍角 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ 或 $ 2\cos^2\theta - 1 $ 或 $ 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
2. 半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ 或 $ \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
五、积化和差与和差化积
这些公式在处理复杂的三角运算时非常有用，尤其在积分和微分中经常使用。
1. 积化和差
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ |
2. 和差化积
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin A + \sin B $ | $ 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
六、小结
掌握以上三角函数的通用公式，不仅有助于理解三角函数的本质，还能在实际问题中灵活运用。建议在学习过程中多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。对于初学者而言，从基础入手，逐步扩展到复杂公式，是提升数学思维的重要方法。
如需进一步了解三角函数的应用实例或推导过程，可继续深入探讨。
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