三角函数的全部公式
发布时间：2026-01-27 21:37:12来源：
【三角函数的全部公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了更好地理解和应用这些公式，以下是对常见三角函数公式的系统总结，包括基本公式、诱导公式、和差公式、倍角公式、半角公式以及积化和差与和差化积等。
一、基本三角函数定义
| 函数名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦（sin） | $\sin \theta = \frac{y}{r}$ | 对边与斜边之比 |
| 余弦（cos） | $\cos \theta = \frac{x}{r}$ | 邻边与斜边之比 |
| 正切（tan） | $\tan \theta = \frac{y}{x}$ | 对边与邻边之比 |
| 余切（cot） | $\cot \theta = \frac{x}{y}$ | 邻边与对边之比 |
| 正割（sec） | $\sec \theta = \frac{r}{x}$ | 斜边与邻边之比 |
| 余割（csc） | $\csc \theta = \frac{r}{y}$ | 斜边与对边之比 |
二、三角函数的基本关系
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ | 平方和关系 |
| $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ | 倒数关系 |
| $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ | 倒数关系 |
| $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ | 商数关系 |
| $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ | 商数关系 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 公式 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin \theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos \theta$ |
| $\tan(-\theta)$ | $-\tan \theta$ |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin \theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos \theta$ |
| $\tan(\pi - \theta)$ | $-\tan \theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin \theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos \theta$ |
| $\tan(\pi + \theta)$ | $\tan \theta$ |
| $\sin(2\pi - \theta)$ | $-\sin \theta$ |
| $\cos(2\pi - \theta)$ | $\cos \theta$ |
| $\tan(2\pi - \theta)$ | $-\tan \theta$ |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 和差角正弦公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 和差角余弦公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 和差角正切公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ | 二倍角正弦公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ | 二倍角余弦公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ | 二倍角正切公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ | 半角正弦公式 |
| $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ | 半角余弦公式 |
| $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ | 半角正切公式 |
七、积化和差与和差化积
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ | 和差化积 |
| $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ | 和差化积 |
| $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ | 和差化积 |
总结
三角函数的公式体系庞大且逻辑严密，掌握这些公式不仅有助于解决实际问题，还能加深对三角函数本质的理解。通过表格形式整理后，可以更清晰地看到各类公式之间的联系与区别，便于记忆和应用。在学习过程中，建议结合图形理解，逐步建立起系统的知识结构。
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