三角函数的基本公式
发布时间：2026-01-27 21:33:49来源：
【三角函数的基本公式】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。掌握三角函数的基本公式是理解和应用这些知识的基础。以下是对三角函数基本公式的总结，并以表格形式进行归纳。
一、基本定义
设角θ为一个任意角，其终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- sinθ = y
- cosθ = x
- tanθ = y/x (x ≠ 0)
- cotθ = x/y (y ≠ 0)
- secθ = 1/x (x ≠ 0)
- cscθ = 1/y (y ≠ 0)
二、基本关系式
| 公式 | 说明 |
| sin²θ + cos²θ = 1 | 基本恒等式 |
| 1 + tan²θ = sec²θ | 由sin²θ + cos²θ推导而来 |
| 1 + cot²θ = csc²θ | 同上原理 |
| tanθ = sinθ / cosθ | 正切的定义 |
| cotθ = cosθ / sinθ | 余切的定义 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 公式 |
| sin(π/2 - θ) = cosθ | 余角公式 |
| cos(π/2 - θ) = sinθ | 余角公式 |
| sin(π - θ) = sinθ | 对称公式 |
| cos(π - θ) = -cosθ | 对称公式 |
| sin(-θ) = -sinθ | 奇函数性质 |
| cos(-θ) = cosθ | 偶函数性质 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | 和差角正弦公式 |
| cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB | 和差角余弦公式 |
| tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) | 和差角正切公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| sin2θ = 2sinθ cosθ | 二倍角正弦公式 |
| cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ | 二倍角余弦公式 |
| tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) | 二倍角正切公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] | 半角正弦公式 |
| cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] | 半角余弦公式 |
| tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] | 半角正切公式 |
七、积化和差与和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 | 积化和差公式 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | 积化和差公式 |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | 积化和差公式 |
| sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | 和差化积公式 |
| cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | 和差化积公式 |
总结
三角函数的基本公式是学习三角学的重要基础，涵盖了从基本定义到复杂变换的多个方面。掌握这些公式不仅有助于解决几何问题，还能在实际应用中发挥重要作用。通过不断练习和理解这些公式之间的联系，可以更灵活地运用三角函数解决各种数学和现实问题。
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