【三角函数变换公式总结】在数学学习中，三角函数的变换公式是解决各类三角问题的重要工具。无论是解三角形、求周期、化简表达式，还是进行微积分运算，掌握这些公式都至关重要。本文对常见的三角函数变换公式进行了系统总结，并以表格形式呈现，便于理解和记忆。

一、基本公式

1. 同角三角函数关系

- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

- $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$

- $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

2. 诱导公式（角度与单位圆的关系）

- $\sin(-\theta) = -\sin\theta$

- $\cos(-\theta) = \cos\theta$

- $\tan(-\theta) = -\tan\theta$

- $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$

- $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$

- $\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$

3. 和差公式

- $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$

- $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$

- $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

4. 倍角公式

- $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$

- $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$

- $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

5. 半角公式

- $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

- $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

- $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

6. 积化和差公式

- $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

- $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$

- $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

7. 和差化积公式

- $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

- $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

- $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

- $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

二、常用三角函数变换公式表

三、应用建议

- 在实际问题中，应根据题目需求选择合适的公式进行代换或化简。

- 注意公式的适用范围，例如半角公式中的正负号需根据象限判断。

- 对于复杂表达式，可结合多个公式逐步简化。

通过系统地整理和理解这些公式，可以大大提升解题效率，同时也为后续的高等数学学习打下坚实基础。希望本总结能帮助你在学习过程中更加得心应手。