三角函数公式大全
发布时间：2026-01-27 22:04:07来源：
【三角函数公式大全】在数学学习中，三角函数是一个非常重要且基础的知识点，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了方便学习和记忆，本文将系统地整理常见的三角函数公式，并以表格的形式进行归纳总结，帮助读者更好地掌握相关知识。
一、基本三角函数定义
设一个角为 $\theta$，在直角坐标系中，$\theta$ 的终边与单位圆交于点 $(x, y)$，则有：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | $ \sin\theta = y $ |
| 余弦（cos） | $ \cos\theta = x $ |
| 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ |
| 余切（cot） | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ |
| 正割（sec） | $ \sec\theta = \frac{1}{x} $ |
| 余割（csc） | $ \csc\theta = \frac{1}{y} $ |
二、同角三角函数关系
| 公式 | 内容 |
| 基本关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与正割 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ |
| 余切与余割 | $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、和差角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦和角 | $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ |
| 正弦差角 | $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ |
| 余弦和角 | $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ |
| 余弦差角 | $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $ |
| 正切和角 | $ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ |
| 正切差角 | $ \tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
| 正弦三倍角 | $ \sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta $ |
| 余弦三倍角 | $ \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta $ |
六、半角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦半角 | $ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ 或 $ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ |
八、和差化积公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin A + \sin B $ | $ 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
九、反三角函数基本性质（简要）
| 函数名称 | 定义域 | 值域 |
| $ \arcsin x $ | $ [-1, 1] $ | $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ |
| $ \arccos x $ | $ [-1, 1] $ | $ [0, \pi] $ |
| $ \arctan x $ | $ (-\infty, +\infty) $ | $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ |
通过以上内容的整理，我们可以清晰地看到三角函数的各类公式及其应用场景。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，也能加深对三角函数本质的理解。建议结合具体例题进行练习，以达到灵活运用的目的。
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