【三角函数反函数求导公式】在微积分中，三角函数的反函数求导是重要的内容之一。掌握这些公式的推导过程和应用方法，有助于更深入地理解函数的性质和变化规律。以下是对常见三角函数反函数求导公式的总结，并通过表格形式清晰展示。

一、三角函数反函数求导公式总结

1. 反正弦函数（arcsin x）的导数：

设 $ y = \arcsin x $，则 $ x = \sin y $，对两边求导得：

$$

\frac{dx}{dy} = \cos y

$$

因此，

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}

$$

又因 $ \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，故

$$

\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

2. 反余弦函数（arccos x）的导数：

类似于反正弦函数，设 $ y = \arccos x $，则 $ x = \cos y $，对两边求导得：

$$

\frac{dx}{dy} = -\sin y

$$

所以，

$$

\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}

$$

又因 $ \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，故

$$

\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

3. 反正切函数（arctan x）的导数：

设 $ y = \arctan x $，则 $ x = \tan y $，对两边求导得：

$$

\frac{dx}{dy} = \sec^2 y

$$

所以，

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}

$$

又因 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2 $，故

$$

\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

$$

4. 反余切函数（arccot x）的导数：

设 $ y = \arccot x $，则 $ x = \cot y $，对两边求导得：

$$

\frac{dx}{dy} = -\csc^2 y

$$

所以，

$$

\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y}

$$

又因 $ \csc^2 y = 1 + \cot^2 y = 1 + x^2 $，故

$$

\frac{d}{dx}(\arccot x) = -\frac{1}{1 + x^2}

$$

5. 反正割函数（arcsec x）的导数：

设 $ y = \text{arcsec } x $，则 $ x = \sec y $，对两边求导得：

$$

\frac{dx}{dy} = \sec y \tan y

$$

所以，

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec y \tan y}

$$

又因 $ \sec y = x $，$ \tan y = \sqrt{x^2 - 1} $，故

$$

\frac{d}{dx}(\text{arcsec } x) = \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}

$$

6. 反余割函数（arccsc x）的导数：

设 $ y = \text{arccsc } x $，则 $ x = \csc y $，对两边求导得：

$$

\frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y

$$

所以，

$$

\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc y \cot y}

$$

又因 $ \csc y = x $，$ \cot y = \sqrt{x^2 - 1} $，故

$$

\frac{d}{dx}(\text{arccsc } x) = -\frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}

$$

二、三角函数反函数求导公式一览表

三、注意事项

- 上述公式适用于定义域内的所有点。

- 在实际应用中，需注意反函数的定义域和值域，例如 $ \arcsin x $ 的定义域为 $ [-1, 1] $。

- 一些公式中符号的变化与原函数的单调性有关，如 $ \arccos x $ 与 $ \arcsin x $ 的导数符号相反。

通过掌握这些反函数的导数公式，可以更高效地处理涉及三角函数反函数的微分问题，提高解题效率和准确性。