【如何求直线与平面所成角】在立体几何中，直线与平面所成的角是一个重要的概念，常用于解决空间中的角度问题。该角的大小不仅反映了直线与平面之间的相对位置关系，也在工程、物理和数学建模中具有广泛的应用。

一、基本概念

直线与平面所成的角：是指一条直线与其在平面上的投影之间的夹角。这个角通常用θ表示，范围在0°到90°之间。

要计算这个角，关键在于找到直线在平面上的投影，并计算原直线与该投影之间的夹角。

二、求解步骤总结

三、公式表达

设直线的方向向量为 v，平面的法向量为 n，则：

- 直线与法向量的夹角 α 可由点积公式求得：

$$

\cos\alpha = \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{\vec{v} \cdot \vec{n}}

$$

- 直线与平面所成的角 θ 为：

$$

\theta = 90^\circ - \alpha

$$

若需以弧度表示，则换算为：

$$

\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha

$$

四、注意事项

- 直线与平面垂直时，θ = 90°，此时直线与法向量平行。

- 直线位于平面内时，θ = 0°。

- 在实际应用中，可能需要通过坐标系转换来简化计算过程。

五、举例说明

假设直线方向向量为 v = (1, 2, 3)，平面法向量为 n = (2, -1, 1)。

1. 计算点积：

$$

\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 1 = 2 - 2 + 3 = 3

$$

2. 计算模长：

$$

\vec{v} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}, \quad \vec{n} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}

$$

3. 求夹角α：

$$

\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} \approx 0.331

\Rightarrow \alpha \approx 70.9^\circ

$$

4. 求直线与平面所成角θ：

$$

\theta = 90^\circ - 70.9^\circ = 19.1^\circ

$$

六、总结

直线与平面所成角是通过直线方向向量与平面法向量之间的关系进行计算的。掌握这一方法有助于理解三维空间中直线与平面的相对位置，也便于在实际问题中进行角度分析与计算。

如需进一步了解如何通过坐标系变换或向量投影来计算该角，可继续深入学习相关知识。