【如何求相交圆公共弦长】在几何中，两个相交的圆会形成一条公共弦，这条弦是两个圆的交点之间的线段。掌握如何求解公共弦的长度，对于解决圆与圆的位置关系问题具有重要意义。本文将通过总结的方式，结合公式和实例，系统地介绍如何求相交圆的公共弦长。

一、基本概念

- 相交圆：两个圆有两个不同的交点。

- 公共弦：连接两个交点的线段。

- 公共弦长：即公共弦的长度。

二、求公共弦长的方法

方法一：利用几何法（坐标法）

1. 已知条件：

- 圆 $ C_1: (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 $

- 圆 $ C_2: (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2 $

2. 步骤：

- 联立两个圆的方程，解出交点坐标。

- 利用两点间距离公式计算公共弦长。

3. 公式：

若交点为 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，则公共弦长为：

$$

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

$$

方法二：利用代数法（联立方程消元）

1. 步骤：

- 将两个圆的方程相减，得到直线方程（即公共弦所在的直线）。

- 求出该直线与任一圆的交点，再计算两点间的距离。

2. 公式：

设两圆方程分别为：

$$

C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0

$$

$$

C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0

$$

相减得：

$$

(D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0

$$

该方程为公共弦所在直线。

方法三：利用几何性质（圆心距与半径关系）

1. 已知条件：

- 两圆圆心分别为 $ O_1 $、$ O_2 $，半径分别为 $ r_1 $、$ r_2 $，圆心距为 $ d $。

2. 步骤：

- 计算两圆的半径与圆心距的关系，判断是否相交。

- 若相交，则公共弦垂直于连心线，且被连心线平分。

- 利用勾股定理求出公共弦的一半长度，再乘以2。

3. 公式：

公共弦长 $ L $ 可表示为：

$$

L = 2\sqrt{r_1^2 - \left( \frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d} \right)^2}

$$

三、总结表格

四、实例解析

例题：

已知圆 $ C_1: x^2 + y^2 = 4 $，圆 $ C_2: (x - 2)^2 + y^2 = 4 $，求它们的公共弦长。

解法：

- 两圆圆心分别为 $ O_1(0, 0) $、$ O_2(2, 0) $，半径均为2，圆心距 $ d = 2 $。

- 代入公式：

$$

L = 2\sqrt{2^2 - \left( \frac{2^2 + 2^2 - 2^2}{2 \times 2} \right)^2} = 2\sqrt{4 - \left( \frac{4}{4} \right)^2} = 2\sqrt{4 - 1} = 2\sqrt{3}

$$

答案：公共弦长为 $ 2\sqrt{3} $。

五、结语

求解相交圆的公共弦长，关键在于理解圆与圆的位置关系，并灵活运用代数或几何方法。根据题目给出的条件选择合适的方法，可以更高效地解决问题。通过以上方法与实例，希望对您有所帮助。