如何求分段函数的定义域
发布时间：2026-01-20 00:03:39来源：
【如何求分段函数的定义域】在数学中，分段函数是由多个不同表达式组成的函数，每个表达式对应不同的自变量范围。因此，在求分段函数的定义域时，不能简单地对整个函数进行分析，而需要分别考虑每一个部分的定义域，再将它们合并起来。
一、分段函数的定义域求解步骤
1. 明确分段函数的各个部分：首先识别出函数由哪些子函数组成，并确定每个子函数对应的自变量区间。
2. 分别求出每个子函数的定义域：对于每个子函数，根据其表达式（如分母不为零、根号下非负等）求出该部分的定义域。
3. 求所有子函数定义域的并集：将各部分的定义域合并，得到整个分段函数的定义域。
二、分段函数定义域求解示例
| 分段函数 | 各部分定义域 | 整体定义域 |
| $ f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ \frac{1}{x} & x \geq 0 \end{cases} $ | 第一部分：$ x < 0 $ 的所有实数；第二部分：$ x > 0 $（因为 $ x = 0 $ 时分母为零） | $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ |
| $ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+1} & x \leq 2 \\ x-1 & x > 2 \end{cases} $ | 第一部分：$ x \geq -1 $；第二部分：全体实数 | $ [-1, +\infty) $ |
| $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-3} & x < 3 \\ x^2 & x \geq 3 \end{cases} $ | 第一部分：$ x \neq 3 $（即 $ x < 3 $）；第二部分：全体实数 | $ (-\infty, 3) \cup [3, +\infty) = (-\infty, +\infty) $ |
