【如何求出一个函数的单调区间】在数学中，函数的单调性是研究函数变化趋势的重要工具。了解一个函数在哪些区间上是递增或递减的，有助于我们更好地理解其图像特征和实际应用。本文将系统地总结如何求出一个函数的单调区间。

一、基本概念

- 单调递增：在某个区间内，当 $ x_1 < x_2 $ 时，有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $。

- 单调递减：在某个区间内，当 $ x_1 < x_2 $ 时，有 $ f(x_1) \geq f(x_2) $。

- 单调区间：函数在其定义域内保持单调性的子区间。

二、求解步骤

三、示例分析

以函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 为例：

1. 定义域：全体实数 $ (-\infty, +\infty) $

2. 求导：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $

3. 解方程：令 $ f'(x) = 0 $，得 $ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 $

4. 划分区间：

- 区间1：$ (-\infty, -1) $

- 区间2：$ (-1, 1) $

- 区间3：$ (1, +\infty) $

5. 判断导数符号：

- 在区间1：取 $ x = -2 $，$ f'(-2) = 3(4) - 3 = 9 > 0 $，函数递增

- 在区间2：取 $ x = 0 $，$ f'(0) = -3 < 0 $，函数递减

- 在区间3：取 $ x = 2 $，$ f'(2) = 3(4) - 3 = 9 > 0 $，函数递增

6. 结论：

- 单调递增区间：$ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $

- 单调递减区间：$ (-1, 1) $

四、注意事项

- 若导数为零的点是极值点，则该点不能作为单调区间的边界。

- 函数在某些点不可导时，需特别处理。

- 单调区间应根据实际函数的定义域来确定，避免超出范围。

五、总结表格

通过以上方法，我们可以系统地分析并确定一个函数的单调区间，这在函数图像绘制、极值点寻找等方面具有重要价值。