【三角形重心的坐标公式】在几何学中，三角形的重心是一个重要的概念，它不仅是三角形的几何中心，同时也是其质量中心。对于一个给定的三角形，可以通过其三个顶点的坐标来计算出其重心的坐标。下面将对这一公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。

一、什么是三角形的重心？

三角形的重心是三条中线的交点，它将每条中线分为两段，且重心到顶点的距离是到对应边中点距离的两倍。在物理意义上，如果三角形是由均匀密度的材料构成的，那么它的重心就是整个图形的平衡点。

二、三角形重心的坐标公式

设三角形的三个顶点分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，则该三角形的重心 $ G $ 的坐标为：

$$

G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)

$$

也就是说，重心的横坐标是三个顶点横坐标的平均值，纵坐标是三个顶点纵坐标的平均值。

三、公式说明

- 公式适用于所有类型的三角形，包括锐角、直角和钝角三角形。

- 它是一种简单而有效的计算方法，无需复杂的几何构造或向量运算。

- 该公式也可以推广到三维空间中的四面体的质心计算。

四、示例与验证

假设有一个三角形，其三个顶点的坐标分别为：

根据公式，重心坐标为：

$$

x = \frac{1 + 4 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4 \\

y = \frac{2 + 5 + 8}{3} = \frac{15}{3} = 5

$$

因此，重心坐标为 $ (4, 5) $。

五、总结表

通过上述内容，我们可以清晰地理解三角形重心的坐标公式的来源、应用及计算方法。此公式在数学、物理以及工程等领域都有广泛的应用价值。