【三角形的重心公式及证明】在几何学中，三角形的重心是一个重要的概念，它不仅在数学中具有理论意义，在物理、工程等领域也有广泛应用。本文将总结三角形重心的基本概念、公式及其推导过程，并以表格形式进行简明展示。

一、重心的基本概念

三角形的重心（Centroid）是三角形三条中线的交点。中线是指从一个顶点出发，连接该顶点与对边中点的线段。重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的一段长度是靠近对边的一段长度的两倍。

二、重心的坐标公式

设三角形的三个顶点坐标分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，则其重心 $ G $ 的坐标为：

$$

G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)

$$

此公式表明，重心的横坐标和纵坐标分别是三个顶点对应坐标的算术平均值。

三、重心公式的推导证明

方法一：利用中线交点

1. 设中线 $ AD $ 连接 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ BC $ 的中点 $ D $。

2. 中点 $ D $ 的坐标为：

$$

D\left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)

$$

3. 设重心 $ G $ 在中线 $ AD $ 上，且满足 $ AG:GD = 2:1 $。

4. 利用分点公式计算 $ G $ 的坐标：

$$

G_x = \frac{2 \cdot \frac{x_2 + x_3}{2} + 1 \cdot x_1}{2 + 1} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}

$$

$$

G_y = \frac{2 \cdot \frac{y_2 + y_3}{2} + 1 \cdot y_1}{2 + 1} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}

$$

因此，重心的坐标公式成立。

四、总结与表格对比

五、结论

三角形的重心是一个重要的几何特性，其坐标公式简单而实用。通过中线的交点关系可以清晰地理解其几何意义和代数表达方式。掌握这一公式有助于进一步学习几何学中的其他相关概念，如面积、向量等。