【求等比数列的通项公式】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为常数。掌握等比数列的通项公式对于解决相关问题具有重要意义。本文将对等比数列的通项公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。

一、等比数列的基本概念

等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。这个固定的比值称为公比，通常用字母 $ q $ 表示。

设等比数列为：

$$ a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots $$

其中 $ a_1 $ 是首项，$ q $ 是公比。

二、等比数列的通项公式

等比数列的第 $ n $ 项 $ a_n $ 可以表示为：

$$

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

$$

其中：

- $ a_n $：第 $ n $ 项

- $ a_1 $：首项

- $ q $：公比

- $ n $：项数

三、通项公式的应用举例

以下是一个简单的等比数列示例：

四、通项公式的推导过程（简要）

由等比数列的定义可知：

$$

\frac{a_2}{a_1} = q,\quad \frac{a_3}{a_2} = q,\quad \frac{a_4}{a_3} = q,\quad \dots

$$

因此：

$$

a_2 = a_1 \cdot q \\

a_3 = a_2 \cdot q = a_1 \cdot q \cdot q = a_1 \cdot q^2 \\

a_4 = a_3 \cdot q = a_1 \cdot q^2 \cdot q = a_1 \cdot q^3 \\

\vdots

$$

由此可以归纳出通项公式：

$$

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

$$

五、注意事项

1. 公比 $ q $ 的取值范围：

- 当 $ q > 1 $ 时，数列递增；

- 当 $ 0 < q < 1 $ 时，数列递减；

- 当 $ q = 1 $ 时，数列为常数列；

- 当 $ q < 0 $ 时，数列呈现正负交替。

2. 若已知任意两项，可求出公比和首项，进而求出通项。

六、总结

通过理解并掌握等比数列的通项公式，可以更高效地分析和解决相关的数学问题。希望本文能帮助你更好地理解和应用这一重要知识。