【求边缘概率密度函数】在概率论与数理统计中，联合概率密度函数描述了两个或多个随机变量同时取值的概率分布情况。而边缘概率密度函数则是从联合概率密度函数中提取出某一随机变量的单独概率分布。通过计算边缘概率密度函数，可以更方便地分析单个变量的分布特性。

一、边缘概率密度函数的定义

对于二维连续型随机变量 $(X, Y)$，其联合概率密度函数为 $f_{X,Y}(x, y)$。若要得到 $X$ 的边缘概率密度函数，则对所有可能的 $y$ 值进行积分：

$$

f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dy

$$

同理，$Y$ 的边缘概率密度函数为：

$$

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dx

$$

二、求解步骤总结

三、示例说明

假设联合概率密度函数为：

$$

f_{X,Y}(x, y) =

\begin{cases}

2e^{-x - 2y}, & x > 0, y > 0 \\

0, & \text{其他}

\end{cases}

$$

求 $X$ 的边缘概率密度函数：

$$

f_X(x) = \int_{0}^{\infty} 2e^{-x - 2y} \, dy = 2e^{-x} \int_{0}^{\infty} e^{-2y} \, dy = 2e^{-x} \cdot \frac{1}{2} = e^{-x}

$$

所以，

$$

f_X(x) = e^{-x}, \quad x > 0

$$

求 $Y$ 的边缘概率密度函数：

$$

f_Y(y) = \int_{0}^{\infty} 2e^{-x - 2y} \, dx = 2e^{-2y} \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = 2e^{-2y} \cdot 1 = 2e^{-2y}

$$

所以，

$$

f_Y(y) = 2e^{-2y}, \quad y > 0

$$

四、表格总结

五、小结

边缘概率密度函数是研究多维随机变量中单个变量分布的重要工具。通过积分操作，可以从联合分布中提取出单变量的分布信息。该过程不仅适用于连续型随机变量，也可推广至离散型随机变量的边缘分布计算。理解并掌握这一方法，有助于更深入地分析随机现象中的独立性、相关性等问题。