【前n项和公式】在数学中，数列的前n项和是研究数列性质的重要工具之一。不同的数列有不同的求和方式，掌握这些公式对于解决实际问题具有重要意义。以下是对常见数列前n项和公式的总结，便于快速查阅与应用。

一、等差数列前n项和

等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为 $ a $，公差为 $ d $，则第 $ n $ 项为 $ a + (n - 1)d $，其前 $ n $ 项和公式如下：

$$

S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d

$$

或等价形式：

$$

S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)

$$

二、等比数列前n项和

等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为 $ a $，公比为 $ r $，则前 $ n $ 项和公式如下：

当 $ r \neq 1 $ 时：

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

当 $ r = 1 $ 时，所有项相等，故：

$$

S_n = a \cdot n

$$

三、自然数前n项和

自然数前n项和即从1到n的连续整数之和，属于等差数列的一种特殊情况，首项为1，公差为1，因此其前n项和公式为：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

$$

四、平方数列前n项和

平方数列指1², 2², 3², ..., n² 的和，其前n项和公式为：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$

五、立方数列前n项和

立方数列指1³, 2³, 3³, ..., n³ 的和，其前n项和公式为：

$$

S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

$$

总结

以上是几种常见数列的前n项和公式。掌握这些公式有助于提高解题效率，尤其在数学竞赛、考试以及实际工程计算中具有广泛应用价值。通过表格形式可以更清晰地对比不同数列的求和方式，方便记忆和使用。

如需进一步了解其他数列的求和方法，可结合具体题目进行分析与推导。