期望和方差公式

发布时间：2025-12-17 06:14:41来源：

【期望和方差公式】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量核心特征的两个重要概念。它们分别用于衡量随机变量的“平均值”和“波动程度”。本文将对常见分布的期望和方差公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。

一、期望（Expected Value）

期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均趋势，也称为数学期望。它反映了随机变量的“中心位置”。

对于离散型随机变量 $ X $，其期望为：

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)

对于连续型随机变量 $ X $，其期望为：

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

其中，$ f(x) $ 是概率密度函数。

二、方差（Variance）

方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的“分散程度”。方差越大，说明数据越不稳定。

方差的计算公式为：

\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2

三、常见分布的期望和方差公式总结

分布名称	概率质量/密度函数	期望 $ E(X) $	方差 $ \text{Var}(X) $
伯努利分布	$ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $	$ p $	$ p(1-p) $
二项分布	$ P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $	$ np $	$ np(1-p) $
泊松分布	$ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $	$ \lambda $	$ \lambda $
均匀分布	$ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $	$ \frac{a + b}{2} $	$ \frac{(b-a)^2}{12} $
正态分布	$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $	$ \mu $	$ \sigma^2 $
指数分布	$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $	$ \frac{1}{\lambda} $	$ \frac{1}{\lambda^2} $

四、总结

期望和方差是统计分析中的基础工具，广泛应用于金融、工程、医学等领域。理解不同分布的期望和方差，有助于我们更好地掌握数据的特性并做出合理的预测与决策。

通过表格的形式，可以快速查阅各类分布的期望和方差公式，提高学习和应用效率。在实际问题中，根据数据的分布类型选择合适的模型，是数据分析的关键步骤之一。

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