【七个分布的期望与方差】在概率论与数理统计中，常见的概率分布有多种，每种分布都有其特定的数学期望和方差，用于描述随机变量的集中趋势和离散程度。本文将对七种常见分布的期望与方差进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和理解。

一、二项分布（Binomial Distribution）

- 定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布。

- 参数：n（试验次数），p（每次试验成功概率）

- 期望：E(X) = np

- 方差：Var(X) = np(1 - p)

二、泊松分布（Poisson Distribution）

- 定义：描述单位时间内事件发生次数的概率分布。

- 参数：λ（平均发生率）

- 期望：E(X) = λ

- 方差：Var(X) = λ

三、正态分布（Normal Distribution）

- 定义：连续型分布，广泛用于自然和社会现象的建模。

- 参数：μ（均值），σ²（方差）

- 期望：E(X) = μ

- 方差：Var(X) = σ²

四、均匀分布（Uniform Distribution）

- 定义：在区间[a, b]上所有点的概率密度相等。

- 参数：a（下限），b（上限）

- 期望：E(X) = (a + b)/2

- 方差：Var(X) = (b - a)² / 12

五、指数分布（Exponential Distribution）

- 定义：描述事件发生时间间隔的概率分布。

- 参数：λ（速率参数）

- 期望：E(X) = 1/λ

- 方差：Var(X) = 1/λ²

六、几何分布（Geometric Distribution）

- 定义：表示首次成功前失败次数的分布。

- 参数：p（每次试验成功概率）

- 期望：E(X) = (1 - p)/p

- 方差：Var(X) = (1 - p)/p²

七、超几何分布（Hypergeometric Distribution）

- 定义：在不放回抽样中，成功次数的分布。

- 参数：N（总体数量），K（成功总数），n（样本容量）

- 期望：E(X) = nK/N

- 方差：Var(X) = nK(N - K)(N - n) / [N²(N - 1)

表格总结

通过以上总结可以看出，不同分布的期望和方差具有各自的特点，掌握这些基本性质有助于更好地理解和应用概率模型。